Les formules simples qui donnent des nombres premiers en grande quantité

Certaines formules, sans donner tous les nombres premiers, ni même ne donner que des nombres premiers, en donnent une grande quantité en suivant.

C'est le cas de la formule d'Euler qui donne des nombres premiers pour toutes les valeurs de n allant de 0 à 40.

> f := n-> n^2-n+41;

> L:=seq(f(k),k=0..41);

> map(isprime,[L]);

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>

Les polynômes suivants battent le record d'Euler :

est premier pour n = 0, 1, ..., 42 (R. Ruby)

> f :=n-> 103*n^2 - 3945*n + 34381;

> seq(isprime(abs(f(k))),k=0..43);

>

est premier pour n = 0, 1, ..., 42 (G. Fung)

> f := n-> 47*n^2 -1701*n +10181;

> seq(isprime(abs(f(k))),k=0..43);

>

est premier pour n = 0, 1, ...,44 (R. Ruby)

> f := n-> 36*n^ 2 - 810*n + 2753;

> seq(isprime(abs(f(k))),k=0..45);

>

Une conjecture très vraisemblable (car liée à une autre bien testée) est qu'aussi grand que soit A on peut trouver un polynôme de la forme qui donne des nombres premiers pour n = 0, ..., A . On sait cependant que B sera nécessairement très grand : le B correspondant à A = 41 a été montré plus grand que mais pour l'instant reste inconnu.