Considérons un ensemble B à deux éléments que l'on note "0" et "1". Cet ensemble est muni de deux opérations binaires notés "+" et "." et d'un opérateur unaire noté "'" (prime).

Remarques :
(a) habituellement, ce dernier opérateur est noté avec une barre placée au-dessus de l'expression à laquelle elle s'applique
(b) dans les notations que nous utilisons, l'opérateur le plus prioritaire est le ', puis vient le . et en dernier le +

On pose comme axiomes :

• commutativité :     (A1) a.b=b.a      (A2) a+b=b+a
  
• associativité :     (A3) a.(b.c)=(a.b).c     (A4) a+(b+c)=(a+b)+c
  
• distributivité :     (A5) a.(b+c)=a.b+ac     (A6) a+(b.c)=(a+b).(a+c)
  
• élément neutre :     (A7) 1.a=a.1=a     (A8) 0+a=a+0=a
  
• complément :     (A9) a.a'=0     (A10) a+a'=1
  

On montre que si les opérateurs vérifient ces axiomes, alors on a obligatoirement les propriétés suivantes qui sont vérifiées :

• élément absorbant :     (P1) a.0=0     (P2) a+1=1
  
• absorption :     (P3) a.(a+b)=a     (P4) a+(a.b)=a
  
• idempotence :     (P5) a.a=a     (P6) a+a=a
  
• involution :     (P7) (a')'=a
  
• théorème de De Morgan :     (DM1) (a.b)'=a'+b'      (DM2) (a+b)'=a'.b'

Preuve

• Que sait-on des opérateurs "." et "+" ?
  • 0.0 = ?   on ne sait pas encore...
  • 0.1 = 0    on utilise l'axiome (A7)
  • 1.0 = 0   (A7)
  • 1.1 = 1   (A7)
  • 0+0 = 0   (A8)
  • 0+1 = 1   (A8)
  • 1+0 = 1   (A8)
  • 1+1 = ?   on ne sait pas encore...
• Comme 0+0=0 et vu l'axiome (A10), on a forcément 0'=1. De même, comme 1.1=1 et vu l'axiome (A9), on a forcément 1'=0. La propriété (P7) est donc vraie : (0')'=1'=0 et (1')'=0'=1.
• On cherche la valeur de 0.0 :
  

  0.0 = 0.0+0   (A8)
     = 0.0+0.1   (A7)
     = 0.(0+1)   (A5)
     = 0.1   (A8)
     = 0   (A7)

  Ceci montre, avec (A7) (pour montrer que 1.1=1), que (P1) est vraie. De même, avec (A7) (pour montrer 1.0=0) montre que (P5) est vraie.

• On cherche la valeur de 1.1 :

  1+1=(1+1).1   (A7)
    = (1+1).(1+0)   (A8)
    = 1+(1.0)   (A6)
    = 1+0   (A7)
    = 1   (A8)

  On en déduit, avec (A8) que (P2) et (P6) sont vraies.

  remarque : à partir de maintenant, tout peut être fait en utilisant les tables de vérité puisqu'elles sont complètes pour les trois opérateurs de base.

• On montre l'absorption (P3) et (P4) :

  a.(a+b) = (a+0).(a+b)   (A8)
    = a+(0.b)   (A6)
    = a+0   (P1)
    = a   (A8)

  a+(a.b) = (a.1)+(a.b)   (A7)
    = a.(1+b)   (A5)
    = a.1   (P2)
    = a   (A7)

• Reste (DM1) et (DM2)... Je ne vois pas d'autres moyens que "les tables de vérité"...

En conclusion

Si les trois opérateurs vérifient les axiomes (A1) à (A10), alors le "." est la fonction booléenne "ET", le "+" est la fonction booléenne "OU" et "'" est la fonction booléenne "NON"...

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dernière mise à jour : le 13/09/2001 - David Simplot